The only time an adjective stays bare is a het-word with een (or no article) in the singular: een rijk huis.
Yes, it becomes rijke: de rijke man, een rijke man, het rijke huis, rijke huizen. The only exception is een rijk huis (a het-word with 'een' in the singular).
Een rijk huis. Huis is a het-word, so with 'een' the adjective stays bare. But with a de-word it takes -e: een rijke man.
Adjective endings hinge on de/het. The platform drills them in real A2 exam tasks, AI-graded across all five DUO sections.